Thèse Positions en Ponts pour les Sous-Variétés de Co-Dimension 2 dans les Variétés Lisses H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Grenoble Alpes École doctorale : MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique Laboratoire de recherche : Institut Fourier Direction de la thèse : Delphine MOUSSARD ORCID 0000000161350125 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-09T23:59:59 L'objectif principal sera d'étendre la description diagrammatique des surfaces nouées dans les 4-variétés lisses aux dimensions supérieures. En dimension 4, Meier et Zupan ont développé la notion de diagramme d'ombre pour décrire une surface nouée dans une 4-variété trisectée.

Problème 1 :
Définir une notion de diagramme d'ombre pour une sous-variété S de codimension 2 plongée dans une variété lisse multisectée W et prouver qu'un tel diagramme encode la classe de difféomorphisme de la paire (W,S).

Dans le cas des surfaces nouées dans la 4-sphère, Meier et Zupan donnent une autre description diagrammatique des surfaces, appelés diagrammes triplans. Ceux-ci sont généralisés aux diagrammes à quadriplans pour les 3-variétés plongées dans la 5-sphère par Aranda, Blackwell, Kim, Naylor et Pongtanapaisan.

Problème 2 :
Définir une notion de diagramme n-plan pour une sous-variété S de codimension 2 plongée dans la n-sphère et prouver qu'un tel diagramme encode la classe d'isotopie de S.

Meier et Zupan ont introduit un ensemble de mouvements sur un diagramme triplan qui préserve la classe d'isotopie de la surface nouée. Hugues, Kim et Miller ont prouvé que cet ensemble de mouvements est complet: deux diagrammes triplans représentant des surfaces nouées isotopes sont toujours reliés par ces mouvements.

Problème 3 :
Définir des mouvements sur les diagrammes n-plans qui préservent la classe d'isotopie du plongement et prouver un résultat d'unicité.
Le sujet de cette thèse se situe dans le domaine de la topologie géométrique, c'est-à-dire l'étude des variétés lisses et des plongements entre variétés d'un point de vue géométrique et combinatoire. Il s'appuie sur la théorie récente des trisections des variétés lisses de dimension 4, introduite par Gay et Kirby, et se concentre sur la notion de trisection en pont pour les surfaces dans les 4-variétés lisses, due à Meier et Zupan, ainsi que leurs généralisations aux dimensions supérieures.

Une trisection est l'analogue quadridimensionnel d'un scindement de Heegaard : une 3-variété connexe orientée peut être décomposée comme l'union de deux corps-en-anses collés le long d'une surface compacte ; une telle décomposition est appelée un scindement de Heegaard et constitue une notion clé dans l'étude des 3-variétés. En plus de donner des descriptions efficaces des 3-variétés, les scindements de Heegaard fournissent un outil puissant pour définir et calculer des invariants. Par exemple, la construction de l'homologie de Heegaard-Floer est basée sur les diagrammes de Heegaard, qui sont des descriptions combinatoires de scindements de Heegaard.

Dans les années 2010, Gay et Kirby ont développé une construction analogue pour les 4-variétés lisses, connexes et orientées : une telle variété peut être trisectée comme l'union de 3 corps à 1-anses quadidimensionnels, avec des corps-en-anses tridimensionnels comme intersections doubles et une surface orientée compacte comme intersection triple. Les diagrammes de trisection fournissent des représentations bidimensionnelles de 4-variétés lisses via des triplets de familles de courbes sur une surface fermée -- la surface centrale de la trisection. De tels diagrammes, analogues des diagrammes de Heegaard, permettent d'utiliser des techniques bidimensionnelles et tridimensionnelles pour étudier les 4-variétés. La théorie des trisections fournit un nouvel outil pour étudier les 4-variétés lisses, domaine dans lequel nous avons grandement besoin de nouvelles approches qui pourraient conduire à des progrès sur certains des problèmes ouverts les plus importants en topologie, tels que la conjecture de Poincaré lisse en dimension 4 et la conjecture de Schoenflies lisse en dimension 4.

La théorie des trisections montre son utilité dans l'étude des surfaces nouées en dimension 4. Meier et Zupan ont introduit la notion de position en ponts pour une surface nouée dans la sphère de dimension 4, ou plus généralement dans une 4-variété lisse arbitraire. Ces décompositions généralisent la notion de n\oe uds et entrelacs en ponts en dimension 3 et donnent des descriptions diagrammatiques de surfaces nouées. Comme les entrelacs en dimension 3, chaque surface plongée dans une 4-variété lisse peut être isotopée pour être en position en ponts.

La notion de trisection a été généralisée aux dimensions supérieures par Ben Aribi, Courte, Golla et Moussard : une multisection d'une n-variété lisse est une décomposition en (n-1) corps-en-anses s'intersectant deux à deux le long de corps-en-anses de dimension inférieure, sauf l'intersection globale qui est une surface fermée. Ils ont prouvé qu'une telle décomposition permet une description diagrammatique de la variété multisectée, et que chaque variété lisse de dimension 5 admet une multisection.

Il existe une généralisation naturelle de la notion de position en ponts pour une sous-variété de codimension au moins 2 dans une variété lisse. Aranda, Blackwell, Kim, Naylor et Pongtanapaisan ont prouvé que chaque sous-variété de dimension 3 dans la 5-sphère peut être isotopée en position en ponts. De plus, dans un travail en cours de rédaction, Courte, Moussard, Ren et Zhou prouvent que toute sous-variété de codimension au moins 2 dans une variété multisectée peut être isotopée pour être en position en ponts, et ils en déduisent que toute variété lisse fermée admet une multisection.

Ces résultats fournissent un nouveau cadre pour l'étude des plongements de codimension 2 ou plus dans les variétés lisses, sujet de cette thèse. En utilisant le cadre des multisections, étudier les descriptions diagrammatiques des sous-variétés de co-dimension 2 ou plus dans les variétés lisses.

Titulaire d'un Master MAAP. Spécialisé en géométrie et topologie.