Thèse Modèles Aléatoires Critiques Inhomogènes H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Grenoble Alpes École doctorale : MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique Laboratoire de recherche : Institut Fourier Direction de la thèse : Vincent BEFFARA ORCID 000000026928318X Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-09T23:59:59 Le but de ce sujet de thèse est d'étudier comment certains résultats classiques en percolation planaire, et pour des modèles similaires, se généralisent au cas de modèles qui ne sont pas invariants par translation, avec comme motivation d'établir des outils permettant d'attaquer les conjectures d'universalité et d'invariance conforme qui constituent des problèmes ouverts majeurs en mécanique statistique.

Plus spécifiquement, dans le cas de la percolation de Bernoulli critique sur le réseau carré, un résultat fondateur de Russo, Seymour et Welsh énonce que la probabilité d'existence d'un chemin ouvert traversant un rectangle est bornée inférieurement par une constante ne dépendant que de la forme du rectangle mais pas de sa taille; ceci est à la base d'une grande partie de la compréhension mathématique du modèle au point critique. Comme démontré par Tassion et Kohler-Schindler, ces estimées se généralisent à tout modèle corrélé positivement et ergodique, mais l'invariance par translation est une hypothèse cruciale dans toutes les preuves connues.

De manière générale, comprendre le comportement de modèles inhomogènes est toujours difficile. Quand l'inhomogénéité est elle-même aléatoire et sui une loi ergodique, cela revient à la comparaison quenched/annealed pour laquelle des outils par exemple de concentration peuvent s'appliquer. Dans des cas plus généraux, il ne reste plus beaucoup d'outils à appliquer.

In premier cas d'école sera celui de deux modèles critiques homogènes, par exemple la percolation critique sur deux réseaux différents, restreints chacun à un demi-plan, et recollés entre eux le long de l'interface. Les propriété topologiques macroscopiques du modèle obtenu peuvent être déterminées à partir de celle des deux demi-plans, mais recoudre entre eux des clusters de percolation est deelicat et demande une bonne compréhension de leur structure locale.

Un second modèle, plus compliqué mais de fait moins artificiel, est le champ de Bargman-Fock planaire inhomogène, que l'on peut définir comme suit : on considère l'équation de la chaleur inhomogène, décrite par une fonction lisse positive g en facteur du laplacien, et avec comme condition initiale un bruit blanc. Quand la fonction g est constante, on obtient un champ gaussien lisse, centré, bien décorrélé dont le signe peut être étudié comme un modèle de percolation. Quand la fonction n'est pas constante, pour des temps petits la solution resemble localement au modèle homogène et on peut encore un fois essayer d'obtenir des informations globales en recollant ces 'patchs' l'un à l'autre. Comprendre le cas particulier où la fonction g est le module de la dérivée d'une fonction holomorphe donnerait des informations sur l'invariance conforme du modèle homogène. L'étude rigoureuse des transitions de phase en mécanique statistique est un sujet très implanté dans la communauté, et en dimension deux on dispose d'outils puissant mais pas suffisamment génériques pour traiter de manière satisfaisante le cas de systèmes inhomogènes sans structure sous-jacente ergodique,

M2 en probabilités, connaissances en mécanique statistique et en analyse complexe