Thèse Groupes Modulaires 3 Variétés et Géométrie H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Grenoble Alpes École doctorale : MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique Laboratoire de recherche : Institut Fourier Direction de la thèse : Erwan LANNEAU ORCID 0000000199934716 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-09T23:59:59 Il existe une abondante littérature sur les problèmes ouverts concernant les groupes modulaires et leurs relations avec les groupes de surfaces, les groupes arithmétiques, les groupes relativement hyperboliques et la topologie des variétés de dimension 3. L'objectif de ce projet est de faire progresser la compréhension de la structure des groupes modulaires, de leurs actions sur les espaces géométriques et de leurs représentations linéaires.

Nous formulons plusieurs problèmes de recherche liés à ce sujet. Les méthodes utilisées pour étudier ces objets sont extrêmement diverses, allant des techniques géométriques et topologiques aux approches arithmétiques et de théorie des représentations. Un premier problème naturel est le suivant :

Montrer que toute action isométrique du groupe modulaire de genre g sur un complexe cellulaire complet CAT(0) de dimension (g-1) possède un point fixe.

Des résultats partiels dans cette direction sont connus dans le cas des actions semi-simples. La compréhension des propriétés résiduelles des groupes modulaires nécessite une compréhension plus approfondie de leurs quotients finis : combien y en a-t-il, peut-on décrire l'ensemble complet des quotients finis, et comment cette information est-elle encodée dans le complété profini ? Alors que l'on pensait autrefois que les quotients finis des groupes modulaires étaient relativement rares, des développements récents suggèrent la possibilité que tous les groupes simples finis suffisamment grands puissent apparaître comme quotients.

Une approche possible consiste à étudier les représentations homologiques, dans le prolongement des travaux de Koberda, Hadari et Liu, et à examiner leurs liens avec les propriétés de théorie des groupes de ces derniers. Ces représentations trouvent en partie leur origine dans un problème ouvert bien connu posé par Ivanov, qui consiste à déterminer si les sous-groupes d'indice fini des groupes modulaires possèdent une abélianisation finie.

L'étude des quotients finis des groupes de variétés de dimension 3 soulève plusieurs questions ouvertes connexes. Une perspective complémentaire, plus algébrique - s'appuyant sur des méthodes arithmétiques et la théorie des modules - peut être développée à partir des résultats des travaux cités ci-dessous.

L'un des objectifs de ce projet de doctorat concerne la question suivante.

Prouver que le groupe d'automorphismes du groupe libre à deux générateurs possède des quotients à caractéristique simple finie de rang arbitrairement grand.

Un tel résultat répondrait à une question posée par William Y. Chen, Alexander Lubotzky et Pham Huu Tiep, qui ont construit une infinité de tels quotients de rang trois. Une stratégie pour obtenir ce résultat utilise les représentations quantiques du groupe modulaire du tore à deux trous. La mise en oeuvre de cette stratégie nécessite d'abord de calculer la fermeture de Zariski de ces représentations dans des cas spécifiques, puis d'appliquer un théorème d'approximation fort dû à Weisfeiler et Nori. Cette méthode a déjà été utilisée avec succès par Masbaum, Reid et Funar pour les groupes des classes de correspondance de surfaces fermées de genre supérieur.

Nous formulons d'autres questions connexes dans la proposition au format PDF. voir fichier pdf Les objectifs sont décrits dans le résumé et le fichier pdf

Expert en géométrie et topologie des surfaces, représentation des groupes, théorie de Teichmueller, surfaces de translation, différentielles abéliennes, espace de modules.