Thèse Théories Conformes en Mécanique Statistique H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Grenoble Alpes École doctorale : MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique Laboratoire de recherche : Institut Fourier Direction de la thèse : Vincent BEFFARA ORCID 000000026928318X Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-09T23:59:59 Ce projet de thèse se situe à l'intersection des probabilités et de la physique, en co-encadrement, avec pour but d'étudier le comportement critique et l'invariance conforme de différents modèles en dimension deux.

Pour ce qui concerne la partie proprement probabiliste : le champ libre gaussien (GFF) est une mesure de probabilité naturelle sur un espace de distributions sur un domaine du plan, dont la fonction de corrélation est donnée par la fonction de Green associée au laplacien sur le domaine. Il apparaît comme limite d'échelle de plusieurs modèles discrets : fonctions de hauteur du modèle de dimères, champ de magnétisation du modèle d'Ising, et plus récemment un article important [DCKLM] le relie au modèle à six vertex, lui-même connecté à un grand nombre de modèles aléatoires.

Nous étudierons une généralisation à valeurs complexes du GFF, pour lequel une conjecture naturelle est qu'il apparaît comme limite d'échelle du champ de magnétisation du modèle de Potts à trois couleurs. Plus précisément, en associant une racine cubique de l'unité à chacune des trois valeurs possibles des spins du modèle de Potts, chaque configuration sur un réseau peut être vue comme une distribution (aléatoire) à valeurs complexes portée par les sommets du réseau, dont on cherchera à comprendre la limite d'échelle quand la maille du réseau tend vers zéro. Les conjectures habituelles d'invariance conforme entrainent sans doute que cette limite est une variante du GFF, mais cela n'a pas encore été démontré ; et sans ces conjectures, notre but sera d'explorer ce que les méthodes de [CDKLM] peuvent permettre de démontrer dans cette direction.

Pour ce qui concerne la partie plus orientée vers la physique : les théories conformes des champs de Toda sont une famille de modèles
probabilistes se situant à l'intersection de nombreuses thématiques de
recherche: physique mathématique et statistique; géométrie algébrique,
complexe et aléatoire; théorie des représentations et algèbres vertex;
systèmes intégrables

En nous basant sur la définition probabiliste de ces modèles [CRV] nous
étudierons certaines de leurs propriétés et notamment leur solvabilité, ce
qui se traduit par le calcul de leurs fonctions de corrélation. Ainsi un
objectif de ce projet de thèse est de parvenir à établir de nouvelles
formules «à la DOZZ» [KRV, C] pour ces théories, pour l'instant
inconnues même dans la littérature physique. Pour ce faire nous nous
intéresserons à leurs algèbres de symétrie en établissant des liens entre
des structures algèbriques, les W-algèbres, et la définition probabiliste
des théories de Toda, permettant d'implémenter des méthodes issues des
algèbres vertex dans un cadre plus analytique et probabiliste. Les interactions entre probabilités et physique mathématique sont un domaine de recherche extrêmement actif grâce aux liens existant entre théorie conforme des champs d'un côté et processus stochastiques planaires de l'autre, mais les liens avec les modèles 'classiques' discrets de la mécanique statistique sont encore mal compris, tant par les mathématiciens que par les physiciens. Tout progrès dans cette direction serait le bienvenu dans la communauté, et ce projet propose deux directions, l'une purement mathématique et l'autre plus orientée vers la physique mathématique.

Candidat·e ayant des connaissances solides à la fois en mathématiques (probabilités, géométrie) et en physique (mécanique statistique, théorie des champs).